1.4 Geometria fractal
Un fractal es un ente geométrico el cual en su desarrollo espacial se va reproduciendo a
si mismo cada vez a una escala menor. Una característica esencial de los fractales
consiste en que si observamos digamos,con una lupa, una parte cualquiera del mismo,
ésta reproduce a escala menor la figura total del fractal.
Como primer ejemplo vamos a presentar la construcción del fractal conocido
como Triángulo o Alfombra de Sierpinski. Se parte de un triángulo equilátero.
Se marcan los puntos medios de cada lado y se unen por segmentos rectilíneos
con lo que aparecerán 4 triángulos. El triángulo del medio se elimina. El procedimiento
descrito se reitera en cada triángulo no suprimido una y otra vez.
Algo mas que identifica a los fractales es el hecho de que el número de sus
dimensiones es fraccionario y no 1, 2, o
3 como ocurre en la geometría habitual.
Para calcular la dimensión de un fractal se lleva a cabo
atendiendo al concepto de dimensión de Hausdorff para explicar
la cual utilizaremos el cálculo de algo conocido como es la
dimensión de un cubo. Marcaremos los puntos medios de todas
sus aristas. Guiándonos por estos puntos haremos los cortes
necesarios con algo semejante a un cuchillo para dividirlo en 8
cubos iguales. Para aplicar la fórmula de la dimensión de
Hausdorff se llama N al número de partes en que queda
dividido el cuerpo inicial, D a la dimensión y R al número de
partes en que se dividió cada arista. La fórmula de Hausdorff la
escribiremos así: D=log N/logR.
Para el ejemplo del cubo: N=8, R=2, al sustituir en la
fórmula tendremos para la dimensión del cubo;
D=log 8/log2, lo cual nos da 3 como yasabíamos pero ha
valido la pena el trabajo para mostrar como aplicaremos
ese procedimiento para determinar la dimensión de un
fractal caso en el que no podemos aplicar otro
procedimiento.
Veamos la dimensión de Sierpinski para lo cual
recordemos que se obtuvieron 3 triángulos y cada
arista se dividió en 2 partes por lo que D=log3/log2
lo cual nos da:1,58496, un número fraccionario,
característica distintiva, como ya dijimos, de los
fractales.
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