3.4 Lineas y Superficies Curvas

Una curva es: una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola y la hipérbola.
en fin, una curva es una linea que hace firuletes en un espacio vectorial.


superfcie: es un conjunto en 3d, una esfera, un paraboloide hiperbolico,paraboloide, un elipsoide , etc....



LAS CURVAS Y SUPERFICIES NO SON FUNCIONES,SON CONJUNTOS. QUE SE PUEDEN VER COMO "CORTES" DE LOS GRAFICOS QUE DESCRIBEN LAS FUNCIONES. A CADA CORTE DE LA FUNCION SE LO LLAMA NIVEL.

para entender mejor:
estamos hablando de funciones del tipo F: |R^n --> |R

el codominio son los reales, y el dominio un espacio vectorial.

¿el grafico de F es el dominio mas la imagen, no? osea un generico (dom(F),img(F))
osea si hablamos de F: |R^3-->|R
el grafico es un subconjunto de |R^4 porque es la suma de las dimensiones del dominio+ el codominio.
osea el generico seria asi : grafico(F)= (x,y,z,F(x,y,z))
pero eso es algo en 4 dimensiones y no se puede dibujar
Por eso se recurre a los "cortes" llamados superficies o curvas de nivel, que hacen que baje una dimension, osea solo veria el dominio en un punto del codominio.
Es decir la superficie de nivel en k serian los puntos (x,y,z) perteneciente a |R^3 talque F(x,y,z)=k
donde k es un valor del codominio.
Generico de la superficie de nivel = (x,y,z,F(x,y,z)=k)

Una curva de nivel es exactamente lo mismo pero en funciones de F: |R^2-->|R
osea curva de nivel= (x,y,F(x,y)=k)


PARA TODOS LOS CASOS X,Y,Z SON VARIABLES
a,b,c SON CONSTANTES

Curvas de nivel mas usadas o conocidas:

circunferencia con centro en (h,j) y radio r:

(x-h)^2+(y-j)^2=r^2




elipse con centro en (h,j) y semiejes a y b:
((x-h)^2)/a^2+((y-j)^2)/b^2=1


hiperbola:
(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1 o (y^2)/a^2-(x^2)/b^2=1



superficies de nivel:

paraboloide:

f(x,y)=x^2+y^2 si despejo z me queda 0=x^2+y^2-z



paraboloide hiperbolico, o silla de montar:
f(x,y)=x^2-y^2 despejo z entonces me queda 0=x^2+y^2-z


hiperboloide de una hoja de revolucion:
1=x^2+y^2-z^2




hiperboloides de 2 hojas:
-1=x^2+y^2-z^2


esfera:
radio^2=x^2+y^2+z^2




elipsoide:
1= (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 +(z^2)/c^2




notar que en la esfera o en a circunferencia, la formula es la misma que en la elipse o elipsoide pero a=b=c
y es el radio=a=b=c